Главная > Как сделать потертость на мебели

Как сделать потертость на мебели


Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Часто в дифференциальных выражениях входящие в них производные по одним переменным необходимо выразить через производные по новым переменным.

Примеры.

7.165. Преобразовать уравнение $$x^4\frac{d^2y}{dx^2}+2x^3\frac{dy}{dx}-y=0,$$ полагая $x=\frac{1}{t}.$

Решение.

Выразим производные от $y$ по $x$ через производные от $y$ по $t:$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{dy}{dt}}{-\frac{1}{t^2}}=-t^2\frac{dy}{dt},$$

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-2t\frac{dy}{dt}-t^2\frac{d^2y}{dt^2}}{-\frac{1}{t^2}}=2t^3\frac{dy}{dt}+t^4\frac{d^2y}{dt^2}.$$

Подставим найденные значения производных и выражение $x=\frac{1}{t}$ в заданное уравнение.

$$\frac{1}{t^4}\left(2t^3\frac{dy}{dt}+t^4\frac{d^2y}{dt^2}\right)+\frac{2}{t^3}\cdot(-t^2)\frac{dy}{dt}-y=\frac{2}{t}\frac{dy}{dt}+\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{2}{t}\frac{dy}{dt}-y=0.$$

Следовательно, $$\frac{d^2y}{dt^2}-y=0.$$

Ответ: $\frac{d^2y}{dt^2}-y=0.$

 

7.167. Преобразовать уравнение $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2-\frac{dy}{dx}\frac{d^3y}{dx^3}-\frac{d^2y}{dx^2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=0,$$ приняв $y$ за аргумент.

Решение. 

Выразим производные от $y$ по $x$ через производные от $x$ по $y:$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}},$$

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\right)=\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\right)\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{ \left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\cdot\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^3},$$

$$\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{d}{dx}\left(-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^3}\right)=\frac{d}{dy}\left(-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^3}\right)\cdot\frac{dy}{dx}=$$

$$=-\frac{\frac{d^3x}{dy^3}\left(\frac{dx}{dy}\right)^3-3\left(\frac{dx}{dy}\right)^2\frac{d^2x}{dy^2}\cdot\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^6}\cdot\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

Подставим полученные выражения производных в заданное уравнение. Получаем

$\left(-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^3}\right)^2-\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\left(-\frac{\frac{d^3x}{dy^3}\left(\frac{dx}{dy}\right)^3-3\left(\frac{dx}{dy}\right)^2\frac{d^2x}{dy^2}\cdot\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^6}\cdot\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\right)-$$ $$\left(-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^3}\right)\left(\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\right)^2=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow3\frac{\left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)^2}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^6}+\frac{\frac{d^3x}{dy^3}\frac{dx}{dy}-3\left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)^2}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^6}+\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^5}=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{\frac{d^3x}{dy^3}+\frac{d^2x}{dy^2}}{\left(\frac{dx}{dy}\right)^5}=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{d^3x}{dy^3}+\frac{d^2x}{dy^2}=0.$$

Таким образом, получили ответ.

Ответ: $$\frac{d^3x}{dy^3}+\frac{d^2x}{dy^2}=0.$$

 

7.168. Преобразовать уравнение $$(xy'-y)^2=2xy(1+y'^2),$$ перейдя к полярным координатам.

Решение.

Имеем

$$x=r\cos\varphi,\qquad  y=r\sin\varphi,$$

$$dx=\cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi,\qquad dy=\sin\varphi  dr+r\cos\varphi d\varphi,$$

$$y’=\frac{dy}{dx}=\frac{\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi}{\cos\varphi dr-r \sin\varphi d\varphi}.$$

Подставляем выражения для $x,\,\, y,\,\, y’$ в заданное уравнение: $$\left(r\cos\varphi\frac{\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi}{\cos\varphi dr –r\sin\varphi d\varphi}-r\sin\varphi\right)^2=$$ $$=2r^2\cos\varphi\sin\varphi\left(1+\left(\frac{\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi}{\cos\varphi dr-r \sin\varphi d\varphi}\right)^2\right)\Rightarrow$$

$$\left(\frac{r\sin\varphi\cos\varphi dr+r^2\cos^2\varphi d\varphi-r\sin\varphi\cos\varphi dr+r^2\sin^2\varphi d\varphi}{\cos\varphi dr -r\sin\varphi d\varphi}\right)^2=$$

$$=2r^2\cos\varphi\sin\varphi\frac{\left(cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi\right)^2+\left(\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi\right)^2}{\left(\cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi\right)^2}\Rightarrow$$

$$\left(\frac{r^2 d\varphi}{\cos\varphi dr -r\sin\varphi d\varphi}\right)^2=\frac{2r^2\cos\varphi\sin\varphi\left(dr^2+ r^2 d\varphi^2\right)}{\left(\cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi\right)^2}\Rightarrow$$

$$r^4 d\varphi^2=r^2\sin2\varphi dr^2+r^4\sin 2\varphi d\varphi^2\Rightarrow$$

$$\sin2\varphi dr^2=(1-\sin 2\varphi)r^2 d\varphi^2 \Rightarrow\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2=\frac{1-\sin 2\varphi}{\sin 2\varphi} r^2\Rightarrow$$

$$r'^2=\frac{1-\sin 2\varphi}{\sin 2\varphi} r^2$$

Ответ: $r'^2=\frac{1-\sin 2\varphi}{\sin 2\varphi} r^2$

 

7.170. Преобразовать уравнение $$(x+y)\frac{\partial z}{\partial x}-(x-y)\frac{\partial z}{\partial y}=0,$$ перейдя к новым независимым переменным $u$ и $v,$ если $u=\ln\sqrt{x^2+y^2},\,\, v=arctg\frac{y}{x}.$

Решение.

Выразим частные производные от $z$ по $x$ и $y$ через частные производные от $z$ по $u$ и $v.$

Имеем $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(\sqrt{x^2+y^2})'_x=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{x^2+y^2}; $$

$$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(\sqrt{x^2+y^2})'_y=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{y}{x^2+y^2}; $$

$$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\left(\frac{y}{x}\right)'_x=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\frac{-y}{x^2}=\frac{-y}{x^2+y^2};$$

$$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\left(\frac{y}{x}\right)'_y=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\frac{1}{x}=\frac{x}{x^2+y^2}. $$

Далее находим

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{-y}{x^2+y^2};$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{y}{x^2+y^2}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{x}{x^2+y^2}.$$

Подставим найденные выражения производных в заданное уравнение:

$$(x+y)\left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{-y}{x^2+y^2}\right)-(x-y)\left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{y}{x^2+y^2}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{x}{x^2+y^2}\right)=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{\partial z}{\partial u}\frac{x^2+xy-xy+y^2}{x^2+y^2}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{-xy-y^2-x^2+xy}{x^2+y^2}=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{\partial z}{\partial u}-\frac{\partial z}{\partial v}=0.$$

Ответ: $ \frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial v}.$

 

7.174. Преобразовать уравнение $$(xy+z)\frac{\partial z}{\partial x}+(1-y^2)\frac{\partial z}{\partial y}=x+yz,$$ приняв за новые независимые переменные $u=yz-x,\,\, v=xz-y$ и за новую функцию $w=xy-z.$

Решение.

Выразим частные производные $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$ через $\frac{\partial w}{\partial u}$ и $\frac{\partial w}{\partial v}.$

Имеем

$$du=-dx+zdy+ydz;$$

$$dv=zdx+xdz-dy;$$

$$dw=ydx+xdy-dz.$$

Учитывая формулу

$$\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial x_1}\cdot\frac{dx_1}{dt}+\frac{\partial u}{\partial x_2}\cdot\frac{dx_2}{dt}+…+\frac{\partial u}{\partial x_n}\cdot\frac{dx_n}{dt},$$ находим

$${dw}=\frac{\partial w}{\partial u}\cdot du +\frac{\partial w}{\partial v}\cdot dv\Rightarrow$$

$$ ydx+xdy-dz =\frac{\partial w}{\partial u}\cdot \left(-dx+zdy+ydz\right) +\frac{\partial w}{\partial v}\cdot \left(zdx+xdz-dy \right)\Rightarrow$$

$$ ydx+xdy-\frac{\partial w}{\partial u}\cdot \left(-dx+zdy\right) -\frac{\partial w}{\partial v}\cdot \left(zdx-dy \right)=dz\left(1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}\right)\Rightarrow$$

$$ dz=\frac{y+\frac{\partial w}{\partial u}-z\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}dx+ \frac{x-z\frac{\partial w}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}dy  \Rightarrow$$

$$ \frac{dz}{dx}=\frac{y+\frac{\partial w}{\partial u}-z\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}};$$

$$ \frac{dz}{dy}= \frac{x-z\frac{\partial w}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}.$$

Подставим найденные выражения $\frac{\partial z}{\partial x}$ и

$\frac{\partial z}{\partial y}$ в заданное уравнение. Получим

$$(xy+z)\frac{y+\frac{\partial w}{\partial u}-z\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}+(1-y^2)\frac{x-z\frac{\partial w}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}=x+yz\Rightarrow$$

$$\frac{xy^2+zy+xy\frac{\partial w}{\partial u}+z\frac{\partial w}{\partial u}-xyz\frac{\partial w}{\partial v}-z^2\frac{\partial w}{\partial v}+x-z\frac{\partial w}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial v}-xy^2+y^2z\frac{\partial w}{\partial u}-y^2\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}=$$ $$=x+yz\Rightarrow$$

$$\frac{zy+xy\frac{\partial w}{\partial u}-xyz\frac{\partial w}{\partial v}-z^2\frac{\partial w}{\partial v}+x+\frac{\partial w}{\partial v}+y^2z\frac{\partial w}{\partial u}-y^2\frac{\partial w}{\partial v}}{1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}=x+yz\Rightarrow$$

$${zy+xy\frac{\partial w}{\partial u}-xyz\frac{\partial w}{\partial v}-z^2\frac{\partial w}{\partial v}+x+\frac{\partial w}{\partial v}+y^2z\frac{\partial w}{\partial u}-y^2\frac{\partial w}{\partial v}}=$$ $$=(x+yz)\left({1+y\frac{\partial w}{\partial u}+x\frac{\partial w}{\partial v}}\right)\Rightarrow$$

$${zy+xy\frac{\partial w}{\partial u}-xyz\frac{\partial w}{\partial v}-z^2\frac{\partial w}{\partial v}+x+\frac{\partial w}{\partial v}+y^2z\frac{\partial w}{\partial u}-y^2\frac{\partial w}{\partial v}}=$$

$$={x+xy\frac{\partial w}{\partial u}+x^2\frac{\partial w}{\partial v}}+{yz+y^2z\frac{\partial w}{\partial u}+xyz\frac{\partial w}{\partial v}}\Rightarrow$$

$$-xyz\frac{\partial w}{\partial v}-z^2\frac{\partial w}{\partial v}+\frac{\partial w}{\partial v}-y^2\frac{\partial w}{\partial v} ={x^2\frac{\partial w}{\partial v}}{+xyz\frac{\partial w}{\partial v}}. $$

Таким образом,

$$\frac{\partial w}{\partial v}\left(x^2+y^2+z^2+2xyz-1\right)=0\Rightarrow \frac{\partial w}{\partial v}=0.$$

Ответ: $\frac{\partial w}{\partial v}=0.$

 

 


Источник: http://mathportal.net/index.php/matematicheskij-analiz/zamena-peremennykh-v-differentsialnykh-vyrazheniyakh


Закрыть ... [X]

Поздравление дочке на 18 лет от мамы очень Мастер класс по выжиганию по дереву для начинающи


Как сделать потертость на мебели



Как сделать потертость на мебели



Как сделать потертость на мебели



Как сделать потертость на мебели



Как сделать потертость на мебели



Как сделать потертость на мебели



Как сделать потертость на мебели



Как сделать потертость на мебели



Как сделать потертость на мебели



Как сделать потертость на мебели



Как сделать потертость на мебели



Как сделать потертость на мебели



Как сделать потертость на мебели